وقتی نوبت به درک چگونگی ارتباط هارمونیک ها با فرکانس یک رشته ارتعاشی یا ستون هوا می رسد، باید به دنیای جذاب ریاضیات شکل موج برای صدا و آکوستیک و همچنین تلاقی موسیقی و ریاضیات بپردازیم.
هارمونیک ها و رابطه آنها با فرکانس
هارمونیک به اجزای فرکانس یک موج پیچیده اشاره دارد. هنگامی که یک سیستم ارتعاش می کند، یک فرکانس اساسی تولید می کند که کمترین فرکانسی است که در آن ارتعاش می کند. این فرکانس اساسی باعث ایجاد هارمونیک ها می شود که مضرب های صحیح فرکانس اصلی هستند. هر هارمونیک دارای یک فرکانس است که یک عدد صحیح مضرب فرکانس اصلی است.
به عنوان مثال، اگر یک رشته یا ستون هوا در فرکانس اصلی 100 هرتز ارتعاش کند، هارمونیک اول در 200 هرتز (2 * 100 هرتز)، هارمونیک دوم در 300 هرتز (3 * 100 هرتز) و غیره خواهد بود.
رابطه با رشته های ارتعاشی
در مورد رشته های ارتعاشی، طول، کشش و جرم در واحد طول سیم، فرکانس اساسی و هارمونیک های بعدی را تعیین می کند. با تنظیم این پارامترها، می توانیم محتوای فرکانس صدای تولید شده توسط رشته ارتعاشی را تغییر دهیم. این رابطه توسط معادله موج کنترل می شود که حرکت رشته و الگوهای ارتعاش حاصل را توصیف می کند.
- طول: یک رشته کوتاه تر فرکانس اساسی و هارمونیک بالاتری دارد، در حالی که یک رشته طولانی تر فرکانس های پایین تری تولید می کند.
- کشش: افزایش کشش در سیم فرکانس اساسی و هارمونیک ها را افزایش می دهد، در حالی که کاهش کشش اثر معکوس خواهد داشت.
- جرم در واحد طول: رشته نازک تر (جرم کمتر در واحد طول) فرکانس های بالاتری را به همراه خواهد داشت، در حالی که یک رشته ضخیم تر (جرم بیشتر در واحد طول) فرکانس های کمتری تولید می کند.
رابطه با ستون های هوا
برای ستون های هوا، مانند آنهایی که در سازهای بادی یا لوله های ارگ یافت می شوند، طول ستون نقش مهمی در تعیین فرکانس و هارمونیک های اساسی دارد. با تغییر طول ستون، نوازندگان می‌توانند گام‌ها و صداهای متفاوتی تولید کنند. معادله موج همچنین رفتار ستون‌های هوای ارتعاشی را کنترل می‌کند، درست مانند رشته‌های ارتعاشی.
مدلسازی ریاضی با ریاضیات شکل موج
رابطه بین هارمونیک ها و فرکانس را می توان با استفاده از ریاضیات شکل موج به صورت ریاضی مدل کرد. این شامل نمایش ارتعاش رشته ها یا ستون های هوا به عنوان شکل موج و تجزیه و تحلیل محتوای فرکانس آنها با استفاده از تکنیک هایی مانند تحلیل فوریه است. تحلیل فوریه به ما امکان می دهد یک شکل موج پیچیده را به فرکانس های تشکیل دهنده آن تجزیه کنیم و سهم هر هارمونیک را در صدای کلی آشکار کنیم.
ارتباط با موسیقی و ریاضیات
رابطه بین هارمونیک و فرکانس برای درک موسیقی و زیربنای ریاضی آن اساسی است. وقتی نوازندگان یک نت را روی یک ساز زهی می نوازند یا به ساز بادی می زنند، اساساً فرکانس و هارمونیک های اصلی را برای تولید زیر و بم ها و آهنگ های مختلف دستکاری می کنند. این فرآیند عمیقاً در اصول ریاضیات ریشه دارد، همانطور که روابط ریاضی دقیق حاکم بر محتوای فرکانس سیستم های ارتعاشی نشان می دهد.
در نتیجه، رابطه بین هارمونیک ها و فرکانس یک رشته یا ستون هوای ارتعاشی موضوعی غنی و چندوجهی است که حوزه های ریاضیات شکل موج، صدا و آکوستیک و تلاقی موسیقی و ریاضیات را در بر می گیرد. درک این رابطه نه تنها درک ما از فیزیک صدا را عمیق تر می کند، بلکه هارمونی ریاضی زیربنای بیان موسیقی را نیز روشن می کند.